胡文恺，马鸿宇，刘亚醉，魏小东，赵 罡，申立勇，李 新
T样条用于计算机辅助设计、分析和制造的新型表示方法
胡文恺1，马鸿宇2，刘亚醉3，魏小东4，赵 罡5，申立勇2，李 新1
(1. 中国科学技术大学数学科学学院，安徽合肥 230000；
2. 中国科学院大学数学科学学院，北京 100049；
3. 北京航空航天大学航空发动机研究院，北京102206；
4. 上海交通大学密西根学院，上海 200240；
5. 北京航空航天大学机械工程及自动化学院，北京 100083)
几何造型主要研究在计算机环境下几何模型的表示与设计，其是计算机辅助设计、工程和制造领域中重要的基础研究方向。当前工业制造中几何模型表示的标准是非均匀有理B样条(NURBS)。然而，由于张量积拓扑结构，NURBS在表示复杂几何模型时具有难以克服的局限性。T样条是一种新型兼容NURBS的自由曲面造型表示技术。由于克服了NURBS的多个重要的局限，T样条自提出后引起了学术界和工业界的极大关注。为了使国内外同行对T样条的发展历程和研究现状有一个较为全面的了解，对其进行系统综述。在广泛文献调研的基础上，对T样条的定义、基础算法，以及在计算机辅助设计、工程和制造中的应用进行归纳总结和详细分析，重点分析了这些算法的基本思想和原理，比较了其优点和不足。由于工业界对几何表示的精度和效率的要求越来越高，导致T样条的研究仍然不完善，还存在大量亟待解决的问题和可能的发展方向。
T样条；
非均匀有理B样条；
计算机辅助设计；
计算机辅助分析；
计算机辅助制造
2003年Sederberg等[1-2]提出了T样条，并将其引入计算机辅助设计(computer-aided design，CAD)领域。作为非均匀有理B样条(non-uniform rational B-splines，NURBS)的高位替代，T样条在十几年中得到了充分的发展，在计算机辅助设计、分析和制造等不同领域中发挥着日益重要的作用。
在CAD领域，T样条解决了多个NURBS表示的弊端和限制。首先，由于张量积结构，NURBS曲面表示的几何模型存在大量的冗余控制点，而T样条由于支持局部细分可以大量减少控制点的数目；
同时，T样条可以用单一，水密的几何模型表示复杂的工艺设计，任何裁剪NURBS模型可以用一个无裁剪，水密的T样条模型表示[3]；
而且多个NURBS曲面片可以缝合为一个水密的T样条曲面片[1,4]；
另外，T样条完全兼容NURBS表示，可以嵌入到现有的任何NURBS技术平台，并大幅降低算法落地的成本。
在计算机辅助分析领域，尤其是等几何分析(isogeometric analysis，IGA)中，T样条的表现远优于NURBS。工程物理仿真问题的求解往往受曲面光滑性，水密性和局部细分性影响，T样条则完美的解决了上述所有问题。故而，T样条被认为是一种既适用于设计也适用于分析的技术。
在计算机辅助制造领域，尤其是针对复杂自由曲面的加工中，需要使用缝合或裁剪NURBS曲面，这一类曲面在拼接和裁剪处往往存在缝隙，T样条技术很好的弥补NURBS曲面在刀轨规划方面的缺陷。另外，Standard for The Exchange of Product model (STEP)标准为模型的交换提供了切实可行的参考框架。T样条与STEP的结合是当前实现设计制造一体化落地的重要技术手段，两者的深度融合是提升我国制造业，尤其是高端制造业水平的迫切需求。
设计制造一体化是当前制造业向数字化、智能化转型的重要方向之一，模型的表达和交换是实现设计制造一体化的两块基石。T样条可以通过灵活的数据结构描述以及任意复杂拓扑结构的模型表示能力，在工业制造领域具有深刻的理论意义和应用价值。本文将在后续章节中分别从设计、分析和制造角度出发，概述T样条在工业生产中的理论与应用。
1.1 T样条定义
任意次数的T样条是基于T网格进行定义[1-2, 5-6]。参数域中的T网格称为索引T网格，为了方便研究，通常对索引T网格进行分析讨论。
图1 双次数为(2,2)的T网格示例
从给定锚点出发，沿着网格和方向发射2条射线，穿过T网格，并记录1+2和2+2个节点索引，如图1中的实心锚点所示。这些节点索引构成锚点对应的混合函数的局部索引向量
从式(1)可见，每个控制点有唯一对应的混合函数，和锚点一一对应。T(,)是双次数为(1,2)的张量积B样条函数，即
图2 T样条曲面示例与对应的T网格[1]
Fig. 2 An example of a T-spline surface with the corresponding T-mesh[1]
1.2 任意拓扑T样条
T样条可以推广到任意拓扑，即控制网格中允许奇异点存在。如图3中的红色顶点所示。奇异点是网格内部度数不等于4，同时也不是T点的顶点。在任意拓扑T网格中，混合函数的定义规则对奇异点附近的锚点不适用。
图3 任意拓扑T网格，红色顶点为奇异点[7]
任意拓扑T样条通常有2种方式定义：基于细分曲面的方法[1,8-9]和基于有限曲面片的方法[10]。2种方法大多数都只能处理双三次T样条，生成的曲面仅在包含奇异点的面中有所不同。
基于细分的定义方法是对样条节点插入方法的推广，也是最成熟的将样条推广到任意拓扑的方法。如catmull-clark (CC)细分就是三次均匀B样条推广到任意拓扑。但即使不包含奇异点，CC细分曲面也不能表示非均匀B样条，因为CC细分不支持非均匀节点。为此，文献[8]于1998年提出非均匀细分曲面(non-uniform rational subdivision surface，NURSS)。2003年将其推广至T样条中[1]，称为on-unifornm rational catmull-clark surface with T-junctions (T-NURCCs)。文献[9]于2019年提出hybrid non-uniform subdivision surface (HNUSS)，曲面保证1连续性，同时基于HNUSS的IGA可以保证最佳收敛速度。然而，细分曲面在包含奇异点的曲面对应的参数表示是无穷片多项式曲面，因此不能向后兼容NURBS，即细分曲面不能严格表示为NURBS。
基于有限曲面片的定义方法使用有限多项式表示奇异点附近曲面，并将控制网格中的每个面映射到有限个多项式曲面片。基于有限曲面片的方法更适合实际应用，并可以向前和向后兼容NURBS表示。文献[10]使用Bézier曲面方法提取初始0连续的基函数，将控制网格中的每个面转换为双三次的Bézier曲面片，再通过约束优化方法得到1连续曲面。文献[7]通过进一步优化1条件，对于非均匀节点可以得到改进的曲面质量。
1.3 局部细分算法
局部细分算法是T样条的核心算法，基于局部细分算法可以衍生出T样条的众多应用。
文献[2]采用递归算法对T样条进行局部细分，算法在递归过程中细分所有可能影响的混合函数。其核心在于：T网格中的锚点与混合函数是紧密耦合的，每一个锚点对应一个混合函数，且混合函数的节点向量是由T网格所决定的。对于给定的T样条和新增控制点，算法输出一个包含所有新增控制点的T样条，并通过以下步骤保持几何形状不变：
算法1.T样条局部细分算法。
输入：给定T样条、待插入控制点。
输出：包含所有新增控制点的新T样条。
步骤1.修改T网格拓扑结构，插入所有新增控制点；
步骤2.将所有混合函数加入列表L中，如果L非空，则从L中选择一个混合函数并重复步骤3～5；
步骤3.如果混合函数与当前T网格相耦合，继续；
步骤4.如果混合函数有缺失节点，则将混合函数细分为2个新的混合函数，并将其加入到列表L中；
步骤5.如果混合函数有未指定的节点，则在T网格中插入对应位置的控制点；
步骤6.计算所有控制点的新位置。
2012年Scott等[11]提出一种高度局部化的细分优化算法，可以使细分后的T样条成为适合分析的T样条(AST样条)。新算法大幅提高了计算效率和网格质量，并沿用至今。图4展示了AST样条细分算法的优越性。2018年Li和ZHANG[12]基于AST样条提出AS++样条，并进一步优化了T样条的局部细分算法[13]，减少了细分过程中不必要的扩散控制点数目。
1.4 T样条的变种
随着T样条相关理论研究的不断深入，在面向不同实际应用问题中，涌现出众多T样条的变种，以下简单介绍其中几类。
AST样条[14-15]是影响最大也是应用最广泛的一种T样条变种，其是一类定义在特殊网格上的T样条，被证明可以同时满足设计和分析的需求。AST样条保留了NURBS表示的所有好的数学性质[16-18]，如线性独立性、单位剖分性、非负性、凸包性等等，同时可以提供高效且高度局部的细分算法。AS++样条改进了AST网格的限制条件，减少了控制点扩散，2021年Li等[19]提出了任意次数的AS++样条。
图4 AST样条[11]和NURBS局部细分算法结果((a)待细分区域；
(b) NURBS细分结果；
(c) AST样条细分结果)
2017年Wei等[20]提出了一种适用于几何设计和分析的新型T样条：截断T样条。截断T样条有着线性独立的基函数和高度局部的细分算法，细分可以产生嵌套的样条空间，故而适用于等几何分析。此外，还有修改的T样条[21]、权重T样条[22]等。2019年Li和SEDERBERG[23]提出了S样条，松弛了T网格和混合函数的联系，使得局部细分过程中不再产生任何冗余控制点。由于和T样条定义方式类似，已有的T样条的算法很容易推广到S样条上。
T样条在CAD中应用广泛，并在以Rhinoers和Autodesk系列产品为代表的商业软件中使用。
2.1 NURBS转化成T样条
NURBS模型的控制点在拓扑上必须是张量积结构，意味着NURBS模型中存在大量仅仅为了满足拓扑要求的冗余控制点，其占用大量计算资源，严重影响设计效果和效率。
NURBS转化T样条就是将NURBS曲面转换成相同或逼近的T样条曲面，从而减少冗余控制点数目，通常有2种简化方法[2,24]。
(1) 自下而上，迭代细分简单T样条以逼近复杂T样条曲面。其关键在于生成复杂曲面的一个最小简化模型，然后不断进行细分，直到达到所需精度；
(2) 自上而下，迭代简化原有模型以得到简化模型。其关键在于评估现有控制点，在给定误差下移除不需要的冗余控制点。
图5展示了青蛙模型和对应NURBS曲面的控制点，图6展示了2种不同方法简化后的结果，误差均为1.5%。原有NURBS曲面模型中存在11 625个控制点，左图是迭代简化的结果，共有3 975个控制点，右图是迭代细分的结果，共有5 035个控制点。
图5 青蛙模型与NURBS控制点[24]
图6 T样条重构NURBS简化模型[24]
2.2 多个NURBS曲面缝合为单一T样条曲面
在几何建模中，复杂模型的各个部分往往是独立建模的，在边界可能无法精确匹配。应用T样条可以将多个NURBS曲面缝合为单一曲面，这个过程称为曲面缝合或曲面拼接[1,4]。
将一组B样条曲面缝合为一个B样条曲面要求：任意2个相邻曲面沿公共边界具有相同的节点向量。因此在缝合前需要比对边界节点向量，通过节点插入匹配相邻曲面边界。NURBS的张量积结构使其在节点插入过程中产生大量冗余控制点，而T样条因其局部细分性质，只需要修改公共边界附近的曲面，从而大幅提高了算法效率。
缝合算法的主要步骤如下：首先确定需要缝合的公共边界；
应用重新参数化使得相邻曲面沿公共边界有相同的参数化；
在T网格的适当位置插入控制点，使相邻曲面沿公共边界节点向量一致；
最后合并边界端点。
图7展示了应用T样条缝合脸部模型的结果。左图采用18个不同的NURBS曲面表示，用颜色深浅以区分不同曲面片；
右图是缝合后的T样条曲面模型。
图7 应用T样条缝合脸部模型[4]
2.3 裁剪NURBS转换为非裁剪T样条曲面
裁剪技术是NURBS用来表示复杂拓扑曲面的经典方法。裁剪NURBS表示存在严重缺陷，即不同裁剪NURBS在裁剪边界上无法保证理论上的连续性，从而在几何模型中会产生缝隙，会导致很多分析物理性质的软件失效。这个缝隙问题就是几何建模中的“脏”几何问题，严重影响了CAD和computer-aided engineering (CAE)的融合，困扰了CAD界长达数十年。
2008年文献[3]给出了一种将裁剪NURBS转换为无裁剪T样条曲面的方法。其首先将裁剪NURBS曲面转换成一个逼近的无裁剪的T样条曲面；
接着利用T样条缝合方法将多个无裁剪的T样条曲面拼接成单一、水密的T样条曲面模型。图8展示了转换后无裁剪的T样条模型；
2017年CAI等[25]提出了一种新的裁剪转换T样条的方法，并通过Bézier曲面操作将其用于等几何分析；
随后在2019年进一步改进裁剪转换步骤[26]，采用遗传算法优化了裁剪曲线的拟合误差，解决了原有算法中可能产生的曲面扭曲、交叉等问题。
图8 将裁剪NURBS转换成无裁剪T样条模型[3]((a)无裁剪T样条模型；
(b)单一T样条模型)
Fig. 8 Convert trimmed NURBS into a single T-spline[3]((a) Untrimmed T-splines; (b) A single T-splines)
2.4 T样条的拟合
几何模型的高阶曲面表示通常更简洁高效，并可以大幅简化许多几何建模和处理算法，提高算法效率。因此用T样条拟合数据模型成为T样条应用中的一个基本问题。
将任意网格转换为规则的T样条形式是近年来的研究热点。Zheng等[27]提出了一种自适应的T样条拟合算法，用于拟合函数数据和简单拓扑的三角网格[28-30]。Yang等[31-32]用T样条通过一组放样曲线；
Li等[33]提出了周期性全局参数方法(PGP)，并用T样条拟合任意拓扑的三角网格。Myles等[34]提出构建由少量四边形曲面片组成的控制网结构，并且分片曲面的边界可以与尖锐的特征或曲面边界对齐。Wang等[35-36]提出了一种有效方法构建复杂拓扑或复杂几何的流形T样条。该方法的核心思想是几何感知对象分割，将任意复杂的曲面模型分割成几个简单的图，再用T样条曲面进行拟合。Zhao等[37]讨论了一种基于T样条的曲面片重建耦合方法，并采用迭代重建方法生成每个面片。Kovacs等[38]提出一种细分方法，将Catmull-Clark和NURBS拓展到一类特殊的T网格：二元T网格，保证每个四边形的边上至多有一个T点，新的细分方案可以在含奇异点的局部网格上生成高质量的曲面。Campen和ZORIN[39]提出了一种新的曲面构造和参数化方式，使得对任意给定的引导场结构，存在与之兼容的参数化方式，可以构建与引导场结构一致的光滑的有理曲面片。此外，T样条的曲面重建和形状变形也有着深入的研究[40-45]，还有一些工作着重探究T样条的部分重建问题[46-52]。
T样条拟合点云数据是T样条拟合应用的另一类问题。WANG和Zheng[27,53]最早开始探究T样条的拟合方法。文献[28]提出了一种基于曲率引导的T样条拟合方法。但这些方法大多基于最小二乘原理，在拟合过程中，每次迭代都需要重新计算所有控制点。而T样条基函数不是张量积定义，最小二乘拟合法的计算系数矩阵的过程会带来庞大的计算开销。为了降低计算复杂度，近年来的工作主要集中在快速T样条拟合方法。LIN和ZHANG[54-55]提出了一种渐进式T样条数据拟合算法用于拟合大型数据集，渐进式拟合方法的迭代速度是稳定的，并且对不断增长的未知T网格顶点数量不敏感。Feng和TAGUCHI[56]提出了一种新颖的“分割-连接-拟合”算法，将点云划分为一组B样条曲面片，再将B样条曲面片缝合成单一的T样条曲面。这种方法仅适用于可以投影到平面上的模型，对于一般的点云，尤其是参数化不均匀的点云，这种方法是无效的。Lu等[57]介绍了一种快速T样条局部拟合方法，引入分割技术识别T网格中的活跃区域和非活跃区域，控制点迭代仅需在活跃区域中进行，从而提高拟合效率。
为了无缝融合CAD和CAE，2005年Hughes等[58]提出IGA，以解决二者因底层几何表示的不兼容导致的低效瓶颈问题。IGA最初建立于作为当前CAD工业标准的NURBS之上，在精确性、稳定性等方面均展现出了优越的数值特性，成为计算力学领域近十多年以来影响最为深远的研究热点之一。然而，受限于NURBS张量积结构，IGA最初并不支持自适应细分与复杂几何，前者能够高效捕捉几何与数值解的局部特征，而后者对于实际工程应用必不可少。
另一方面，T样条因水密性、NURBS兼容性、自适应、复杂几何建模便捷性等特点，在IGA创始之初便成为其实现设计与仿真无缝融合最重要的手段之一。将T样条应用于IGA的工作肇始于Hughes团队与Sederberg团队的一项合作工作[7]，在对流-反应-扩散、结构力学问题中均充分展现了T样条自适应特性为仿真分析带来的高效性，如图9所示。
图9 T样条首次应用于IGA，示例为对流-扩散问题[7]
然而，彼时T样条在数值分析中的理论尚未得到建立，在IGA中的应用也仅局限于“盒状”的简单几何，从而在诸多方面均存在开放问题。首先，在T样条基本理论方面，线性无关、任意阶次、单位分解性(partition of unity)、可细分性(或嵌套性)、逼近理论等都有待解决。其次，由于T样条内蕴细分方法的不确定性，T样条自适应细分存在扩散可能，如何减弱乃至消除这一趋势也是研究热点之一。再者，在实际问题中，利用T样条对复杂几何建模的关键在于处理一种称为奇异点的特征点，如何协调奇异点、T节点、边界的相互影响更是重中之重。最后，T样条在实体建模方面的拓展也一直是T样条最具挑战性的难点之一。
为解决以上开放问题，多种T样条变体相继被提出，如适用于分析的T样条(analysis-suitable T-splines，AST)、对偶协调T样条(dual compatible T-splines)、截断T样条(truncated T-splines)、AST++样条、S样条、非结构AST样条等。其中AST样条的理论已相对完备、应用也最为多元，而其他变体则均与其存在紧密联系。以下从基本理论、细分扩散、奇异点处理、实体建模4个方面综述T样条相关工作。
3.1 基本理论
T样条函数的线性无关性是T样条得以应用于仿真分析的前提条件，可保证所得线性方程组的可求解性。在T样条应用于IGA后，BUFFA等[59]通过构造具有特定重节点的T网格，发现了具有线性相关T样条函数的反例，揭示了在T网格不加限制的条件下T样条在分析中的潜在问题，并提出了保证线性无关性的几个充分条件与对应T网格细分的指导方法，如图10所示。
图10 具有线性相关函数(红点所示)的T网格[59]
以此为开端，文献[18]从理论上揭示了T样条线性无关性与T样条-NURBS转换矩阵满秩的等价性，为线性无关的判定提供了计算途径。文献[11]随后提出了一种特定的T网格限定形式以满足求解偏微分方程的诸多要求，并将之命名为适合分析的T样条(nalysis-suitable T-splines，AST样条)。AST样条具有直观的判定原则，仅需在T节点处检验几种延长线的垂直相交情况即可，其在流固耦合[60]、电磁[61]等复杂物理仿真中也均有重要应用。文献[14]更为光滑、双三次AST样条建立了理论基础，包括嵌套性、基本的逼近性质等。文献[12]还在AST样条基础上提出了放松T网格限制的AST++样条，并严格证明了AST++在兼容AST的同时更具有所有AST的所有性质(图11)。另一方面，在AST样条发展的同时，对偶协调T样条[17]作为AST样条的等价形式被提出，其核心是为T样条函数引入研究一维B样条性质的对偶泛函，这为研究AST样条线性无关、单位分解性、任意阶次、逼近性质等诸多方面提供了统一的框架[15]。
图11 AST++样条(左)与AST样条(右)细分对比[12]
3.2 细分扩散
早在T样条提出之初，其细分方法便存在一个核心问题，即没有明确的细分算法终止条件。在最坏情况下，可导致局部细分扩散为全局细分，意味着在目标区域之外加入过多冗余自由度而导致低效[62]。扩散的程度由T网格连接关系所需满足的拓扑约束决定，而由于AST样条对于T网格的限制最为严格，细分扩散问题在AST样条中尤为突出。
此方面的研究工作通过对T样条函数进行特殊处理以减少乃至消除T网格限制条件，其中最具代表性的方法有截断T样条[20]、AST++样条[12]与S样条[23]。首先，文献[20]将截断分层B样条(truncated hierarchical B-splines)中的截断操作扩展至T样条，以消除T节点附近样条函数的冗余分量，从而将AST样条的三类网格约束减少为一类，有效减弱了AST样条的细分扩散现象，但相关理论仅在特殊T网格结构下得到建立。其次，AST++则对所涉及的T样条函数引入适当的权重，大幅减弱了AST网格的限制，并且同时保留了AST样条的所有性质。最后，文献[23]提出的S样条相对于T样条在思想上更接近分层样条，从而完全消除了扩散现象。但目前除线性无关外的大部分理论仍有待建立，并且S样条对应的控制网较为扭曲，其在设计中的可应用性还有待检验。
3.3 奇异点处理
对复杂几何进行满足水密性条件的建模必定涉及奇异点，而如何在T样条框架下处理奇异点则是T样条在实际工程应用中最为重要的问题。这涉及到有效协调不同几何特征(奇异点、T节点、以及边界)间的T网格约束，相关研究工作的核心思想在于使三者互不影响，从而得以单独处理每种特征、简化理论建立与算法实现。
事实上，T样条一开始便包含了奇异点处理，具体使用了一种非均匀细分方法[1]。然而，细分方法因其无限分段的函数结构并不利于与已有仿真数据结构结合，因此基于Bernstein多项式的有限表征形式在分析中更受欢迎。文献[9]首次提出非结构AST样条，并辅以边界元配点法对风力发电机等复杂模型进行了结构力学分析。其中奇异点处样条函数的构造基于几何连续性，最终每个样条函数表示为一个双四次Bernstein多项式的线性组合，系数仅取决于奇异点价数(valence)而与具体几何无关。但此构造在2个方面存在根本性的不足：首先，奇异点与T节点处间的网格约束过强，为满足此限制需在奇异点附近多次均匀细分网格；
其次，所得样条函数的逼近性质较差，无法达到理论所期的最优收敛阶。针对这些问题，Casquero等[63]将基于参数连续性的Bézier退化构造引入AST样条中处理奇异点，减弱了奇异点与T节点间的网格约束，同时在数值上保证了最优收敛阶。此工作更结合KL壳单元成功对汽车B柱、侧板等复杂工程构件进行了大变形力学仿真与模态分析，相比于传统有限元壳单元展现了突出的高效性。在后续工作中，WEI等[64]完全消除了奇异点间约束(图12)，使得同一单元能够出现多个奇异点，进一步减弱了非结构T网格的限制条件，从而得以利用分辨率较低的网格。然而，Bézier退化构造在设计中无法提供A级高质量的曲面模型，建立同时适用于设计与分析的非结构T样条仍是开放问题。
图12 非结构AST样条应用于汽车B柱仿真[64]
3.4 实体建模
实体建模是IGA创始以来最具挑战性的问题之一，其根本原因在于CAD仅对实体表面建模而并不具有内部信息，但IGA需要内部信息来赋予实体物理性质。利用T样条实体的工作主要集中于卡内基梅隆大学的Zhang等[65](图13)与莱布尼茨汉诺威大学的Morgenstern团队[66]。前者利用T样条的自适应特性对复杂边界模型进行实体参数化，而后者致力于将AST样条的网格结构拓展至三维以构造AST样条实体，具体通过高冗余度的网格分级(grading)实现。总体而言，三维情况下T网格结构异常复杂，构造满足约束条件的T网格在简单长方体区域已然十分困难，遑论包含三维奇异点的复杂实体，因而此方向无论理论建立抑或算法实现均是极为困难的开放问题。
图13 基于边界模型的T样条实体参数化[65]
综上，T样条在IGA中的理论与应用均取得了长足的进展，经历了从最初不加网格限制的一般情况，到加入严格限制的AST样条，再到逐步放松约束的各类AST样条变体以及非结构AST样条。目前AST样条理论已基本建立完备，仍未涉及的问题是在奇异点情况下的逼近理论，但这并非T样条的特有问题，而是非结构样条在IGA中的理论难点。在此理论基础的助力下，充分发挥T样条在实际应用中的潜力需要大力发展其对复杂几何的支持，亦即T样条与奇异点的结合。这将主要涉及基于AST变体的非结构T样条、奇异点处理、奇异点与T节点耦合、开源T样条算法库等方面的研究。
首先，当前非结构T样条主要基于AST样条，然而AST++等新变体能够在保留AST所有性质的情况下减弱细分扩散，是未来非结构T样条发展极为有利的基石。其次，当前非结构T样条的奇异点处理主要基于曲面细分、几何或参数连续性等方法，其中参数连续性方法是目前为止最能兼顾设计与分析的构造方法，然而其退化本质将会在设计中引发重重阻力，因而其他更具潜力的奇异点处理方法将会使非结构T样条在IGA中更具竞争力。再者，目前非结构T样条仍需对T网格施加特定约束以“孤立”奇异点与T节点，这在很大程度上抵消了T网格本该带来的灵活性，因而如何消除此约束是大幅提升非结构T样条灵活性的关键。最后，开展非结构T样条的算法开源项目非常有助于在学术界形成合力。非结构T样条数据结构复杂，实现困难，需要深厚的理论储备与丰富的实践经验，在这方面北京航空航天大学的WANG等[67]已开发了基于半边数据结构的算法。为适应T样条变体与奇异点处理的更新迭代，未来此类开源项目的可扩展性尤为重要，以能够易于进行二次开发，并快速完成造型设计与仿真分析的双重验证。
随着产品制造需求的不断变化，制造业对生产加工提出了更高的要求，生产制造过程需要具备高柔性、快速响应等能力来应对复杂多变的制造需求。自由曲面的加工能力是衡量加工制造水平的重要指标之一，尤其是针对复杂自由曲面的加工。目前，针对自由曲面的加工，仍然采用NURBS进行曲面的设计和刀轨规划，对于复杂自由曲面，一般采用拼接或裁剪的方式描述NURBS曲面，在进行曲面刀轨规划时，在拼接和裁剪处往往会存在缝隙，从而导致刀轨的不连续，在进行数控加工时，可能会造成机床运动速度的突变，影响加工质量，甚至会导致刀具的断裂，损坏机床。因此，在进行刀轨规划时，需要经验丰富的工艺员花费大量的时间修复刀轨，验证刀轨的正确性。T样条技术的出现能够很好的弥补NURBS曲面在刀轨规划方面存在的缺陷，得益于T型节点的优势，T样条能够采用单张面片描述具有复杂拓扑结构的自由曲面，使得在进行曲面刀轨规划时，曲面参数域能够保持一致，从根本上避免了曲面拼接和裁剪中存在缝隙的问题。
信息的完整性和一致性是现代制造业的关键所在，尤其是在产品制造的不同阶段，如何保证产品信息在不同软件系统之间进行完整无损的数据交换，对于提高产品的加工效率和加工质量有着重要的意义。国际标准化组织(International Organization for Standardization，ISO)提出的STEP标准为产品在整个制造过程中的数据交换提供了有利的支撑，已经成为制造业的主要数据交换标准，目前主流的CAD/CAE/CAM/CNC厂商均支持STEP标准(图14)。综上所述，T样条和STEP技术为自由曲面在产品全生命周期中的表达和交换提供了重要的技术支持。为了将T样条和STEP技术从理论走向实践，需要探索如下关键技术：T样条数据结构、STEP建模语言、T样条STEP模型的构建。
图14 基于STEP的产品全生命周期管理
T样条相对于NURBS能够表达更加复杂的拓扑结构，因此，采用描述NURBS的数据结构难以有效的表达T样条曲面。国内外学者和相关公司对此开展了相关的探索。Rhino作为最早支持T样条的CAD软件，设计了一种T样条的存储格式(TSM)用于T样条模型的读写，TSM格式定义了：面、边、顶点、连接等数据结构来描述T样条，该数据结构借鉴了半边数据结构，并在此基础之上引入元数据标签，很好的解决了T样条中重节点的表达难题。SCOTT等[68]采用CGAL库中提供的半边数据结构作为基础，实现了不包含奇异点的T样条模型的建模。Lin等[69]提出了一种扩展的T网格数据结构，引入了实边、虚边、实顶点、虚顶点的概念，该数据结构能够方便的计算不包含奇异点的T样条曲面及其局部细分算法，此外，该数据结构还能够存储为类似obj的文件格式，用于T样条模型的交换。XIAO等[70]提出了一种T样条三层数据结构，能够较好的解决T样条重节点的问题，且能与TSM格式进行模型转换。文献[67]提出了一种用于描述包含奇异点的T样条数据结构，通过局部参数化建立每一个控制顶点的参数域，奇异点二邻域通过Bezier提取的方式进行计算。
STEP标准支持设计、分析、制造、测量、使用、维护等全生命周期的数据交换，被广泛的用于机械、电子、建筑等各行各业。，你如，AP203用于几何模型的数据交换[71]，AP209用于有限元分析数据的交换[72]，AP238用于数控加工中的数据交换[73]，AP219用于检测数据的交换[74]，AP242用于基于三维模型的模型管理[75]。STEP为产品全生命周期的数据交换提供了重要的支持，通过STEP可以将产品全生命周期的各个过程紧密的结合起来，如图14所示。XIao等[70,76]利用现有的STEP模型定义，构建了用于T样条曲面交换的STEP模型，为T样条在产品全生命周期中的数据交换提供了较好的解决方案，也为T样条曲面的设计制造一体化搭建了重要的桥梁，T样条STEP模型如图15所示。
传统曲面加工，生成的刀轨通过G代码后置，传输到数控机床上进行加工，G代码从二十世纪五十年代提出至今已经有七十多年的历史，作为设计与加工之间的数据交换标准，G代码稳定可靠，但是其历史局限性已经无法满足现代制造业的需求，为制造业的升级换代带来了一定的阻力，主要表现在以下几个方面：G代码采用关键字作为描述语言，扩展性差，并且容易存在歧义；
G代码仅能够描述运动信息和少量的辅助信息，无法反应完整的加工过程；
G代码只具备信息的单向传输能力，回溯性差，不利于加工过程的优化。
图15 T样条STEP模型定义
STEP-NC是STEP在数控领域的扩展，用于取代G代码，成为设计和加工之间新的数据交换标准。STEP-NC继承了STEP标准的全部优势，并且通过对数控资源的有效集成，方便数控系统中的具体实现。G代码和STEP-NC的区别如图16所示。Zhao等[77]在T样条STEP模型的基础上，探索了T样条在STEP-NC中的应用，实现了T样条曲面通过STEP-NC在数控系统中的直接加工，此外还构建了用于T样条曲面粗加工的STEP-NC模型[78]。
T样条曲面虽然能够采用单张面片描述复杂曲面，避免了刀轨不连续现象的发生，然而，对于复杂曲面，如果采用单一的加工策略难以平衡加工效率和加工质量之间的矛盾，曲面分区域加工是解决上述问题的主要手段之一。刘亚醉[79]提出了适加工区域的概念，并且给出了对应的STEP-NC模型，每一个适加工区域有着相似的加工属性，而不同的适加工区域之间加工属性相似度较大，针对每一个适加工区域选择合适的加工策略生成刀轨，不同适加工区域之间的刀轨通过T样条曲面的局部细分能力保证刀轨的连续性，即保证了加工效率，又能够获得较好的加工质量。Liu等[76]提出了针对不同曲面特征的STEP-NC分区域刀轨规划算法，包括：矩形区域分割的刀轨生成算法、曲率分割的刀轨生成算法[80]、分水岭分割的刀轨生成算法[81]。
图16 G代码和STEP-NC对比
数控机床是整个装备制造业的核心生产基础，是制造机器设备的机器，其发展水平在一定程度上反应了国家工业综合水平状况。数控加工的主要流程包含CAD，CAM和后处理过程以及机床加工，如图17所示。其中，CAM主要包含刀位点路径和刀轴方向规划。由于刀具必须沿着规划好的刀位点轨迹行进，因此，刀位点路径的优劣直接决定了工件的加工精度和效率。针对其的研究也一直是本领域国内外学者的研究热点。
图17 数控加工流程图
关于刀位点路径规划的研究可以大致分为两类：基于拓扑形式的研究和基于参数形式的研究。基于拓扑形式的传统路径规划方法主要分为平行方向轨迹规划方法，平行轮廓法和空间填充曲线规划方法。而基于参数形式的传统路径规划方法主要有等参数法、等平面法和等残高法。
5.1 基于拓扑形式的路径规划
在平行方向轨迹规划方法(图18(a))中，所有路径与预先设定的某条直线平行，所有轨迹首尾相连形成zigzag轨迹[82-84]，这种方法由于比较简单而被广泛应用于粗加工中。平行轮廓轨迹规划方法(图18(b))基于曲面边界轮廓构造，每条路径都是曲面边界的偏置(offset)曲线[85-88]。这类方法生成的路径连续性较好，无需频繁抬刀，从而被广泛应用于型腔加工。而对于空间填充曲线规划方法[89-91]，其中文献[91]尝试了T样条上路径规划。由于T样条具有柔性的拓扑结构，可以把工件的复杂形状表达在单张曲面里，不必像传统NURBS张量积复合曲面一样分片区域加工，也不必考虑刀路面片之间的跳转和连接问题，因此针对T样条的路径规划研究具有重要的实际价值。进而考虑到T样条曲面具有不规则的边界和孔洞，普通平行轮廓法、平行方向轨迹法难以遍历整张曲面的问题，提出使用空间填充曲线的方法进行路径规划。对曲面应用该类型曲线，是将双参数曲面空间2映射到单参数曲线空间。通俗地讲，该类型路径规划是使用一条无间断的曲线按预设的误差遍历整张曲面，可以保证加工全过程刀具无须中途抬刀或换刀，从而提升加工效率，如图18(c)所示。
图18 3种拓扑路径展示((a)平行方向轨迹法[92]；
(b)平行轮廓法[92]；
(c)自适应空间填充曲线法[89])
5.2 基于参数形式的路径规划
等参数法主要应用在参数曲面(,)上[93-94]。在规划路径时，需要保持，2个参数中任一参数不变，将参数平面上的等参数线映射到欧氏空间中参数曲面上，进而生成刀具路径(图19(a))。但为了满足残高约束，这种方法可能会造成局部区域加工轨迹过于密集，残高分布不均，以致影响表面加工质量和整体加工效率[95-97]。等平面法则利用一簇平行平面(驱动面)与加工曲面的交线生成刀具路径(图19(b))，这类方法的关键是如何选择驱动面。Quinsat和SABOURIN[98]通过最大化材料去除率来选择驱动面。Hu等[99]基于残高约束和动力学约束构建标量场，之后利用标量场选择最优驱动面。通过等平面法生成的路径很难满足残高约束，因为其加工行距保持恒定而待加工曲面会比较复杂。而等残高方法是在给定第条路径上的刀位点P,j后，利用预设的最大残留高度，在垂直于当前进给方向的方向上，计算出下一条路径对应的刀位点P+1,j，如图19(c)所示。对于等残高法，初始路径的选择非常重要，好的初始路径可以有效提升加工效率。Giri等[100]通过分析曲面的曲率，给出了选取初始路径的方法。Chiou和LEE[101]首先利用能量场的原理提出势场法，之后根据最大材料去除率选择初始路径。Lee和JI[102-103]利用有效切割椭圆来计算加工带宽，进而生成等残高刀具加工路径。CHENG[104]基于相邻路径的相似性提出了一种新的等残高法，具有很高的计算效率。
5.3 基于三角网格的新型加工路径规划
随着近几年CAD/CAM技术的快速发展，三角网格模型在离散几何建模、CNC数控加工编程、图形和图像等领域得到了广泛的应用。三角网格模型由于其简单、成熟的特点，已成为计算机图形学和数控加工中常用的自由曲面表示形式。因此，针对三角网格模型的刀位点路径规划研究具有重要的现实意义。然而，现有的基于参数形式的方法不能直接应用于三角网格模型，而以往的基于拓扑形式的方法通常只在简单的单值曲面上生成刀具轨迹。因此，在三角网格模型表示的自由曲面上生成刀触点路径的算法值得进一步研究。近年来，针对三角网格模型的刀位点路径规划已有大量工作[106]。针对二维平面[107]和三维空间网格[108]，其中，文献[108]在三角网格模型上应用了一种新的刀具路径生成工具：连通费马螺旋线(connected Fermat spirals，CFS)。利用热方法[109]生成形状感知的标量场，之后将这些等值线连接成CFS。这类刀位点路径具有以下几个优点：整个路径仅包含一个终点和起点，从而无须频繁抬刀、切入；
整个待加工曲面可以被CFS完全覆盖；
单个费马螺旋线的起点和终点可以在边界上任意选择，从而有利于路径的连续性。然而，文献[108]主要从几何角度来考虑刀具路径轨迹的生成，而未考虑后续的数控加工。经过刀具轨迹优化后，其生成的刀具路径有太多转接点(拐点)，如图20所示。
图20 文献[108]方法生成的路径
5.4 基于向量场的新型刀位点路径规划
传统的刀位点路径规划只考虑了曲面本身的几何信息(高阶曲率信息)，而忽视了与众多加工特型约束(局部最大带宽、最大材料去除率、最大进给速度等)的联系，从而无法有效提升加工效率。为此，相关学者提出了与加工特型约束深度融合的刀位点路径规划方法：向量场方法。
此类方法将各类加工特型约束作为目标函数，结合待加工曲面的几何信息计算出在曲面局部的最优加工方向，在曲面上形成向量场，再通过向量场指导路径规划。因此，向量场生成算法与其后的路径生成算法都是此类路径规划方法的主要研究内容。
在生成向量场时，由于需要用到待加工曲面的高阶几何信息，因此此类算法总是基于参数表示的曲面实现。而对于离散形式的曲面，可以首先进行样条拟合并重新参数化。其优化目标主要有：局部带宽最大[101]、最大材料去除率[110]、最大进给速度[111]、能量消耗最小[112]等。根据关注目标的不同，曲面上每个点处的最优加工方向也会不同，从而衍生出不同的向量场生成算法。
此外，还可以将最小切削力[113]、最小刀具转角变化[114]等作为优化目标，或可将这些目标组合起来[115]，用以确定向量场。这方面的工作，重心在向量场确定上。对于之后的路径生成，相关算法基本采用根据向量场优化出一条初始路径，再根据初始路径，依照等残高约束做偏置(offset)计算邻接路径的策略，但初始路径选取上向量场起到了指导作用。
路径生成这一方面的工作，重心放在向量场建立之后的路径生成上。偏置方法在求解邻接路径时，容易产生自交现象。而标量场[116]方法则有效避开了这一问题，但其难点在于对贴合向量场与自身光滑性的权衡，且方程求解总是较为依赖初值；
张量场方法[116]则将向量场转化为光滑表达，在计算和脐点分辨上展现出很大作用，难点在于需要保证张量对参数的协变性；
拓扑方法[117]根据向量场给出路径趋势，对应不同的路径拓扑，其思路直接，但难以处理散乱向量场，即本身不适合作为加工路径的情况。
总之，向量场方法主要适用于参数曲面路径规划，侧重于曲面局部的最优加工，是一种贪心思想，而为了平衡这一点，在建立向量场之后的路径生成中，研究的重点是整体的优化，从而既利用了局部最优的信息，又尽量保证路径的利于加工。该类算法未来仍有很大的发展潜力及空间。
T样条由于NURBS兼容，局部细分，水密曲面以及线性无关，最优收敛等性质的保证，目前已经证明了在CAD、工程和制造领域中显示了其巨大的潜力。同时，其也为学术和工业界引入了大量有价值的科学和工程问题。下面展望T样条的进一步应用。
(1) 在设计上，最重要的问题还是几何模型的生成问题。T样条具有表示复杂几何的能力，即T样条可以避免NURBS造型所出现的“脏几何”问题。但是给定一个NURBS表示的“脏几何”，以尽可能接近原有几何表示的方式将其转化成一个T样条模型仍然未完全解决。这个问题的解决将极大推进CAD和其他系统的融合。另外一个重要的问题是给定一个水密的T样条曲面模型，如何在不改变原始曲面参数化的基础上给出曲面的内部参数化。这一问题是在等几何分析的框架下，设计、分析融合中的最重要的问题之一。将T样条的定义推广到可以处理多边形参数化，并结合网格生成算法可能为上述问题的解决提供帮助。
(2) 在分析上，如何利用仿真的结果来指导几何模型的生成是T样条的一类重要问题。由于分析的目的就是在制造前从物理层面对几何模型的数字化提供指导。基于T样条的几何造型能力和等几何思想，这是一个很有应用前景的问题。另一方面，在物理仿真中，需要的离散空间通常不是完全和几何描述空间一致，如何在保持几何描述空间不变的情况下，引入新的强化空间来优化物理仿真也是一个非常重要的问题。
(3) 在制造上，T样条的应用还处于初级阶段，但是T样条已经显示了其应用的潜力。由于设计和分析的目标就是制造，如何对制造中涉及到的参数和过程进行建模，并利用这些参数和模型来优化数字化的设计和分析是一个关键课题。另外，基于上述过程的一体化体系也是一个系统化和工程化的课题。
[1] SEDERBERG T W, ZHENG J M, BAKENOV A, et al. T-splines and T-NURCCs[J]. ACM Transactions on Graphics, 2003, 22(3): 477-484.
[2] SEDERBERG T W, CARDON D L, FINNIGAN G T, et al. T-spline simplification and local refinement[J]. ACM Transactions on Graphics, 2004, 23(3): 276-283.
[3] SEDERBERG T W, FINNIGAN G T, LI X, et al. Watertight trimmed NURBS[C]//SIGGRAPH "08: ACM SIGGRAPH 2008 Papers. New York: ACM Press, 2008: 1-8.
[4] Ipson, Heather. T-spline Merging[D]. Provo: America Brigham Young University, 2005.
[5] Finnigan G T. Arbitrary degree T-splines[D]. Provo: America Brigham Young University, 2008.
[6] BAZILEVS Y, CALO V M, COTTRELL J A, et al. Isogeometric analysis using T-splines[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2010, 199(5-8): 229-263.
[7] FENG Y F, LI X, YUAN C M, et al. Patching non-uniform extraordinary points with sharp features[C]//SA "21 Posters: SIGGRAPH Asia 2021 Posters. New York: ACM Press, 2021: 1-2.
[8] SEDERBERG T W, ZHENG J M, SEWELL D, et al. Non-uniform recursive subdivision surfaces[C]//The 25th Annual Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques. New York: ACM Press, 1998: 387-394.
[9] LI X, WEI X D, ZHANG Y J. Hybrid non-uniform recursive subdivision with improved convergence rates[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2019, 352: 606-624.
[10] SCOTT M A, SIMPSON R N, EVANS J A, et al. Isogeometric boundary element analysis using unstructured T-splines[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2013, 254: 197-221.
[11] SCOTT M A, LI X, SEDERBERG T W, et al. Local refinement of analysis-suitable T-splines[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2012, 213-216: 206-222.
[12] LI X, ZHANG J J. AS++ T-splines: linear independence and approximation[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2018, 333: 462-474.
[13] ZHANG J J, LI X. Local refinement for analysis-suitable++ T-splines[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2018, 342: 32-45.
[14] LI X, SCOTT M A. Analysis-suitable T-splines: characterization, refineability, and approximation[EB/OL]. [2022-06-09]. https://arxiv.org/abs/1211.5669v1.
[15] BEIRÃO DA VEIGA L, BUFFA A, SANGALLI G, et al. Analysis-suitable t-splines of arbitrary degree: definition, linear independence and approximation properties[J]. Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, 2013, 23(11): 1979-2003.
[16] LI X. Some properties for analysis-suitable T-splines[J]. Journal of Computational Mathematics, 2015, 33(4): 428-442.
[17] BEIRÃO DA VEIGA L, BUFFA A, CHO D, et al. Analysis-suitable T-splines are dual-compatible[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2012, 249-252: 42-51.
[18] LI X, ZHENG J M, SEDERBERG T W, et al. On linear independence of T-spline blending functions[J]. Computer Aided Geometric Design, 2012, 29(1): 63-76.
[19] LI X L, LI X. AS++ T-splines: arbitrary degree, nestedness and approximation[J].Numerische Mathematik, 2021, 148(4): 795-816.
[20] WEI X D, ZHANG Y J, LIU L, et al. Truncated T-splines: fundamentals and methods[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2017, 316: 349-372.
[21] KANG H M, CHEN F L, DENG J S. Modified T-splines[J]. Computer Aided Geometric Design, 2013, 30(9): 827-843.
[22] LIU L, ZHANG Y J, WEI X D. Weighted T-splines with application in reparameterizing trimmed NURBS surfaces[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2015, 295: 108-126.
[23] LI X, SEDERBERG T W. S-splines: a simple surface solution for IGA and CAD[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2019, 350: 664-678.
[24] CARDON D L. T-spline simplification[D]. Provo: Brigham Young University, 2007.
[25] CAI Z Q, WANG W, DU X X, et al. A new method for converting trimmed NURBS surface to T-spline surface for isogeometric analysis[J]. AIP Conference Proceedings, 2017, 1834(1): 040029.
[26] DU X X, ZHAO G, WANG W, et al. A genetic algorithm approach for boundary optimization in converting trimmed NURBS to untrimmed T-spline[J]. Computer-Aided Design and Applications, 2020, 17: 348-361.
[27] ZHENG J M, WANG Y M, SEAH H S. Adaptive T-spline surface fitting to z-map models[C]//The 3rd international conference on Computer graphics and interactive techniques in Australasia and South East Asia. New York: ACM Press, 2005: 405-411.
[28] WANG Y M, ZHENG J M. Curvature-guided adaptive T[J]. Computer-Aided Design, 2013, 45(8-9): 1095-1107.
[29] ZHENG J M, WANG Y M. Periodic T-splines and tubular surface fitting[M]//Curves and Surfaces. Berlin: Springer, 2012: 731-746.
[30] Wang Y M, Zheng J M, Seah H S. Conversion between T-Splines and hierarchical B-Splines[EB/OL]. [2022-05-20]. https://www.researchgate.net/publication/221462998_Conversion_between_T-Splines_and_Hierarchical_B-Splines.
[31] YANG X N, ZHENG J M. Approximate-spline surface skinning[J]. Computer-Aided Design, 2012, 44(12): 1269-1276.
[32] NASRI A, SINNO K, ZHENG J M. Local T-spline surface skinning[J]. The Visual Computer, 2012, 28(6): 787-797.
[33] LI W C, RAY N, LÉVY B. Automatic and interactive mesh to T-spline conversion[C]//The 4th Eurographics Symposium on Geometry processing. New York: ACM Press, 2006: 191-200.
[34] MYLES A, PIETRONI N, KOVACS D, et al. Feature-aligned T-meshes[J]. ACM Transactions on Graphics, 2010, 29(4): 117.
[35] WANG H Y, HE Y, LI X, et al. Geometry-aware domain decomposition for T-spline-based manifold modeling[J]. Computers & Graphics, 2009, 33(3): 359-368.
[36] HE Y, WANG K X, WANG H Y, et al. Manifold T-spline[M]//Geometric Modeling and Processing - GMP 2006. Berlin: Springer, 2006: 409-422.
[37] ZHAO X J, LU M, ZHANG H X. Patch reconstruction with T-splines iterated fitting for mesh surface[J]. Applied Mechanics and Materials, 2011, 88-89: 491-496.
[38] KOVACS D, BISCEGLIO J, ZORIN D. Dyadic T-mesh subdivision[J]. ACM Transactions on Graphics, 2015, 34(4): 143.
[39] CAMPEN M, ZORIN D. Similarity maps and field-guided T-splines: a perfect couple[J]. ACM Transactions on Graphics, 2017, 36(4): 91.
[40] LU Z H, JIANG X, HUO G Y, et al. A fast T-spline fitting method based on efficient region segmentation[EB/OL]. [2022-05-20]. https://link.springer.com/article/10.1007/s40314- 020-1071-6.
[41] YANG H P, FUCHS M, JUTTLER B, et al. Evolution of T-spline level sets with distance field constraints for geometry reconstruction and image segmentation[C]//2006 IEEE International Conference on Shape Modeling and Applications. New York: ACM Press, 2006: 37.
[42] YANG H P, JUTTLER B. Meshing non-uniformly sampled and incomplete data based on displaced T-spline level sets[C]//2007 IEEE International Conference on Shape Modeling and Applications. New York: ACM Press, 2007: 251-260.
[43] YANG H P, JÜTTLER B. 3D shape metamorphosis based on T-spline level sets[J]. The Visual Computer, 2007, 23(12): 1015-1025.
[44] FEICHTINGER R, FUCHS M, JÜTTLER B, et al. Dual evolution of planar parametric spline curves and T[J]. Computer-Aided Design, 2008, 40(1): 13-24.
[45] YANG H P, JÜTTLER B. Evolution of T-spline level sets for meshing non-uniformly sampled and incomplete data[J]. The Visual Computer, 2008, 24(6): 435-448.
[46] SONG W H, YANG X N. Free-form deformation with weighted T-spline[J]. The Visual Computer, 2005, 21(3): 139-151.
[47] 唐月红, 李秀娟, 程泽铭, 等. 隐式T样条实现封闭曲面重建[J]. 计算机辅助设计与图形学学报, 2011, 23(2): 270-275.
TANG Y H, LI X J, CHENG Z M, et al. Closed surface reconstruction based on implicit T-splines[J]. Journal of Computer-Aided Design & Computer Graphics, 2011, 23(2): 270-275 (in Chinese).
[48] 彭小新, 唐月红. 自适应T样条曲面重建[J]. 中国图象图形学报, 2010, 15(12): 1818-1825.
PENG X X, TANG Y H. Automatic reconstruction of T-spline surfaces[J]. Journal of Image and Graphics, 2010, 15(12): 1818-1825 (in Chinese).
[49] WENG B, PAN R J, YAO Z Q, et al. Watermarking T-spline surfaces[C]//2008 11th IEEE International Conference on Commuication Technology. New York: IEEE Press, 2008: 773-776.
[50] WENG B, PAN R J, YAO Z Q, et al. A fragile watermarking algorithm for T-Spline surfaces[C]//2009 IEEE Youth Conference on Information, Computing and Telecommunication. New York: IEEE Press, 2010: 546-549.
[51] WENG B, PAN R J, YAO Z Q, et al. Robust watermarking for T-spline surfaces based on nonuniform B-spline wavelets transformation[C]//2010 IEEE Youth Conference on Information, Computing and Telecommunications. New York: IEEE Press, 2011: 335-338.
[52] Huang H. Heterogeneous object scalar modeling and visualization using trivariate T-splines[D]. Stony Brook: Stony Brook University, 2010.
[53] WANG Y M, ZHENG J M. Adaptive T-spline surface approximation of triangular meshes[C]//2007 6th International Conference on Information, Communications & Signal Processing. New York: IEEE Press, 2008: 1-5.
[54] LIN H W, ZHANG Z Y. An efficient method for fitting large data sets using T-splines[J]. SIAM Journal on Scientific Computing, 2013, 35(6): A3052-A3068.
[55] LIN H W. Adaptive data fitting by the progressive-iterative approximation[J]. Computer Aided Geometric Design, 2012, 29(7): 463-473.
[56] FENG C, TAGUCHI Y. FasTFit: a fast T-spline fitting algorithm[J]. Computer-Aided Design, 2017, 92: 11-21.
[57] LU Z H, JIANG X, HUO G Y, et al. A fast T-spline fitting method based on efficient region segmentation[J]. Computational and Applied Mathematics, 2020, 39(2): 55.
[58] HUGHES T J R, COTTRELL J A, BAZILEVS Y. Isogeometric analysis: cad, finite elements, NURBS, exact geometry and mesh refinement[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2005, 194(39-41): 4135-4195.
[59] BUFFA A, CHO D, SANGALLI G. Linear independence of the T-spline blending functions associated with some particular T-meshes[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2010, 199(23-24): 1437-1445.
[60] CASQUERO H, LIU L, BONA-CASAS C, et al. A hybrid variational-collocation immersed method for fluid-structure interaction using unstructured T-splines[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2016, 105(11): 855-880.
[61] BUFFA A, SANGALLI G, VÁZQUEZ R. Isogeometric methods for computational electromagnetics: B-spline and T-spline discretizations[J]. Journal of Computational Physics, 2014, 257: 1291-1320.
[62] DÖRFEL M R, JÜTTLER B, SIMEON B. Adaptive isogeometric analysis by local-refinement with T-splines[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2010, 199(5-8): 264-275.
[63] CASQUERO H, WEI X D, TOSHNIWAL D, et al. Seamless integration of design and Kirchhoff-Love shell analysis using analysis-suitable unstructured T-splines[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2020, 360: 112765.
[64] WEI X D, LI X, QIAN K R, et al. Analysis-suitable unstructured T-splines: multiple extraordinary points per face[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2022, 391: 114494.
[65] ZHANG Y J, WANG W Y, HUGHES T J R. Solid T-spline construction from boundary representations for genus-zero geometry[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2012, 249-252: 185-197.
[66] MORGENSTERN P. Globally Structured Three-dimensional analysis-suitable T-splines: definition, linear independence and $m$-graded local refinement[J]. SIAM Journal on Numerical Analysis, 2016, 54(4): 2163-2186.
[67] WANG W, ZHANG Y, DU X X, et al. An efficient data structure for calculation of unstructured T-spline surfaces[J]. Visual Computing for Industry, Biomedicine, and Art, 2019, 2(1): 2.
[68] SCOTT M, BORDEN M J, VERHOOSEL C V, etal. Isogeometric finite element data structures based on Bézier extraction of T-splines[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2011, 88(2): 126-156.
[69] LIN H, CAI Y, GAO S. Extended T-mesh and data structure for the easy computation of T-spline[J]. Journal of Information and Computational Science, 2012, 9(3): 583-593.
[70] XIAO W L, LIU Y Z, LI R, et al. Reconsideration of T-spline data models and their exchanges using STEP[J]. Computer- Aided Design, 2016, 79: 36-47.
[71] International Organization for Standardization. Industrial automation systems and integration — product data representation and exchange — part 203: application protocol: configuration controlled 3D design of mechanical parts and assemblies: ISO 10303-203:2011 [S/OL]. [2022-06-03]. https://www.iso.org/standard/44305.html.
[72] International Organization for Standardization. Industrial automation systems and integration — product data representation and exchange — part 209: application protocol: composite and metallic structural analysis and related design：ISO 10303-209:2001[S/OL]. [2022-06-03]. https://www.iso.org/standard/25092.html.
[73] International Organization for Standardization. Industrial automation systems and integration — product data representation and exchange — part 238: application protocol: application interpreted model for computerized numerical controllers: ISO 10303-238:2007[S/OL]. [2022-06-03]. https://www.iso.org/standard/38036.html.
[74] International Organization for Standardization. Industrial automation systems and integration — product data representation and exchange — part 219: application protocol: dimensional inspection information exchange：ISO 10303-219:2007[S/OL]. [2022-06-3]. https://www.iso.org/standard/38722.html.
[75] International Organization for Standardization. Industrial automation systems and integration — product data representation and exchange — part 242: application protocol: managed model-based 3D engineering: ISO 10303-242:2020[S/OL]. [2022-06-3]. https://www.iso.org/standard/66654.html.
[76] LIU Y Z, ZHAO G, ZAVALNYI O, et al. STEP-NC compliant data model for freeform surface manufacturing based on T-spline[J]. International Journal of Computer Integrated Manufacturing, 2019, 32(10): 979-995.
[77] ZHAO G, LIU Y Z, XIAO W L, et al. STEP-compliant CNC with T-spline enabled toolpath generation capability[J]. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2018, 94(5): 1799-1810.
[78] ZHAO G, ZHANG X J, ZAVALNYI O, et al. Extended roughing operations to ISO 14649-11 for milling T-spline surfaces[J].The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2019, 102(9-12): 4319-4335.
[79] 刘亚醉. 基于T样条的STEP-NC自适应刀轨生成技术研究[D]. 北京：北京航空航天大学, 2019.
LIU Y Z Research on STEP-NC Adaptive Toolpath Generation Technology Based on T-Splines [D]. Beijing: Beihang University, 2019 (in Chinese).
[80] LIU Y Z, ZHAO G, ZAVALNYI O, et al. Toolpath generation for partition machining of T-spline surface based on local refinement[J]. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2019, 102(9): 3051-3064.
[81] LIU Y Z, ZHAO G, HAN P F. T-spline surface toolpath generation using watershed-based feature recognition[J]. Applied Sciences, 2020, 10(19): 6790.
[82] MARSHALL S, GRIFFITHS J G. A new cutter-path topology for milling machines[J]. Computer-Aided Design, 1994, 26(3): 204-214.
[83] PI J X, RED E, JENSEN G. Grind-free tool path generation for five-axis surface machining[J]. Computer Integrated Manufacturing Systems, 1998, 11(4): 337-350.
[84] SARMA S E. The crossing function and its application to zig-zag tool paths[J]. Computer-Aided Design, 1999, 31(14): 881-890.
[85] KIM B H, CHOI B K. Machining efficiency comparison direction-parallel tool path with contour-parallel tool path[J]. Computer-Aided Design, 2002, 34(2): 89-95.
[86] FAROUKI R T, TSAI Y F, YUAN G F. Contour machining of free-form surfaces with real-time PH curve CNC interpolators[J]. Computer Aided Geometric Design, 1999, 16(1): 61-76.
[87] LEE E. Contour offset approach to spiral toolpath generation with constant scallop height[J]. Computer-Aided Design, 2003, 35(6): 511-518.
[88] LIANG F S, KANG C W, LU Z Y, et al. Iso-scallop tool path planning for triangular mesh surfaces in multi-axis machining[J]. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing, 2021, 72: 102206.
[89] ANOTAIPAIBOON W, MAKHANOV S S. Curvilinear space-filling curves for five-axis machining[J]. Computer- Aided Design, 2008, 40(3): 350-367.
[90] ANOTAIPAIBOON W, MAKHANOV S S. Tool path generation for five-axis NC machining using adaptive space-filling curves[J]. International Journal of Production Research, 2005, 43(8): 1643-1665.
[91] GAN W F, FU J Z, SHEN H Y, et al. Five-axis tool path generation in CNC machining of T[J]. Computer-Aided Design, 2014, 52: 51-63.
[92] LASEMI A, XUE D Y, GU P H. Recent development in CNC machining of freeform surfaces: a state-of-the-art review[J]. Computer-Aided Design, 2010, 42(7): 641-654.
[93] ELBER G, COHEN E. Toolpath generation for freeform surface models[J]. Computer-Aided Design, 1994, 26(6): 490-496.
[94] LONEY G C, OZSOY T M. NC machining of free form surfaces[J]. Computer-Aided Design, 1987, 19(2): 85-90.
[95] CHEN Z C, VICKERS G W, DONG Z. Integrated steepest-directed and iso-cusped toolpath generation for three-axis CNC machining of sculptured parts[J]. Journal of Manufacturing Systems, 2003, 22(3): 190-201.
[96] FENG H Y, LI H W. Constant scallop-height tool path generation for three-axis sculptured surface machining[J]. Computer-Aided Design, 2002, 34(9): 647-654.
[97] LI S X, JERARD R B. 5-axis machining of sculptured surfaces with a flat-end cutter[J]. Computer-Aided Design, 1994, 26(3): 165-178.
[98] QUINSAT Y, SABOURIN L. Optimal selection of machining direction for three-axis milling of sculptured parts[J]. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2007, 33(7): 684-692.
[99] HU P C, CHEN L F, TANG K. Efficiency-optimal iso-planar tool path generation for five-axis finishing machining of freeform surfaces[J]. Computer-Aided Design, 2017, 83: 33-50.
[100] GIRI V, BEZBARUAH D, BUBNA P, et al. Selection of master cutter paths in sculptured surface machining by employing curvature principle[J]. International Journal of Machine Tools and Manufacture, 2005, 45(10): 1202-1209.
[101] CHIOU C J, LEE Y S. A machining potential field approach to tool path generation for multi-axis sculptured surface machining[J]. Computer-Aided Design, 2002, 34(5): 357-371.
[102] LEE Y S, JI H. Surface interrogation and machining strip evaluation for 5-axis CNC Die and mold machining[J]. International Journal of Production Research, 1997, 35(1): 225-252.
[103] LEE Y S. Non-isoparametric tool path planning by machining strip evaluation for 5-axis sculptured surface machining[J]. Computer-Aided Design, 1998, 30(7): 559-570.
[104] CHENG M. A new iso-scallop height tool path planning method in three-dimensional space[J]. Computer Aided Drafting, Design and Manufacturing, 2012, 22(3): 35-42.
[105] 赵吉宾. 复杂曲面多轴数控加工中的刀轨规划[R/OL]. [2022-06-07]. http://www.sia.cas.cn/xwzx/xshd/201012/t20101208_3039137.html.
ZHAO J B. Toolpath planning in multi-axis CNC machining of complex surfaces[R/OL]. [2022-06-07]. http://www.sia.cas.cn/xwzx/xshd/201012/ t20101208_3039137.html. (in Chinese).
[106] XU K, LI Y G. Region based five-axis tool path generation for freeform surface machining via image representation[J]. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing, 2019, 57: 230-240.
[107] ZHAO H S, GU F L, HUANG Q X, et al. Connected Fermat spirals for layered fabrication[J]. ACM Transactions on Graphics, 2016, 35(4): 100.
[108] ZHAO H S, ZHANG H, XIN S Q, et al. DSCarver: decompose-and-spiral-carve for subtractive manufacturing[J]. ACM Transactions on Graphics, 2018, 37(4): 137.
[109] CRANE K, WEISCHEDEL C, WARDETZKY M. Geodesics in heat[J]. ACM Transactions on Graphics, 2013, 32(5): 1-11.
[110] MOODLEAH S, MAKHANOV S S. 5-axis machining using a curvilinear tool path aligned with the direction of the maximum removal rate[J]. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2015, 80(1): 65-90.
[111] ZHANG K, TANG K. An efficient greedy strategy for five-axis tool path generation on dense triangular mesh[J]. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2014, 74(9): 1539-1550.
[112] XU K, TANG K. Five-axis tool path and feed rate optimization based on the cutting force–area quotient potential field[J]. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2014, 75(9): 1661-1679.
[113] LI L L, ZHANG Y F, LI H Y, et al. Generating tool-path with smooth posture change for five-axis sculptured surface machining based on cutter"s accessibility map[J]. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2011, 53(5): 699-709.
[114] LAMIKIZ A, DE LACALLE L N L, SÁNCHEZ J A, et al. Cutting force integration at the CAM stage in the high-speed milling of complex surfaces[J]. International Journal of Computer Integrated Manufacturing, 2005, 18(7): 586-600.
[115] HU P C, TANG K. Five-axis tool path generation based on machine-dependent potential field[J]. International Journal of Computer Integrated Manufacturing, 2016, 29(6): 636-651.
[116] SUN Y W, SUN S X, XU J T, et al. A unified method of generating tool path based on multiple vector fields for CNC machining of compound NURBS surfaces[J]. Computer-Aided Design, 2017, 91: 14-26.
[117] MA J W, LU X, LI G L, et al. Toolpath topology design based on vector field of tool feeding direction in sub-regional processing for complex curved surface[J]. Journal of Manufacturing Processes, 2020, 52: 44-57.
T-splines a new representation for CAD, CAE and CAM
HU Wen-kai1, MA Hong-yu2, LIU Ya-zui3, WEI Xiao-dong4, ZHAO Gang5, SHEN Li-yong2, LI Xin1
(1. School of Mathematical Sciences, University of Science and Technology of China, Hefei Anhui 230000, China; 2. School of Mathematical Sciences, University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China; 3. Research Institute of Aero-Engine, Beihang University, Beijing 102206, China; 4. University of Michigan-Shanghai Jiao Tong University Joint Institute, Shanghai 200240, China; 5. School of Mechanical Engineering and Automation, Beihang University, Beijing 100083, China)
Geometric modeling is the main research area in computer-aided design (CAD), computer-aided engineering (CAE), and computer-aided manufacturing (CAM), focusing on the representation and design of geometric models on computers. Currently, the standard representation is non-uniform rational B-splines (NURBS). However, due to the tensor-product structure, NURBS has several main limitations in terms of the representations of complex models. T-spline is a new NURBS compatible free-form surface representation technology. T-splines have drawn wide attention both from academia and industry, after solving several limitations of the standard NURBS representation. To enable a more comprehensive understanding of T-splines, a systematic review was conducted. Based on the extensive literature research, the definition and basic operations for T-splines and applications of T-splines in CAD, CAE and CAM were summarized and compared, which mainly focused on the basic ideas, theories, merits and demerits of various algorithms. Due to the high demand of accuracy and efficiency required by geometric representation in the industry, the research on T-spline remains imperfect, and a number of problems and possible prospects are in need of exploration.
T-splines; non-uniform rational B-splines; computer-aided design; computer-aided engineering; computer-aided manufacturing
TP 391
10.11996/JG.j.2095-302X.2022061018
A
2095-302X(2022)06-1018-16
2022-07-30；
：2022-10-26
国家自然科学基金项目(62102011，52175213，61872328)；
北京市重点专项课题(Z190004)；
国家重点研发计划课题(2020YFA0713703)
胡文恺(1998-)，男，博士研究生。主要研究方向为计算机辅助设计和等几何分析。E-mail：hwk2014@mail.ustc.edu.cn
李 新(1980-)，男，教授，博士。主要研究方向为计算机辅助设计、等几何分析等。E-mail：lixustc@ustc.edu.cn
30 July，2022；
26 October，2022
National Natural Science Foundation of China (62102011, 52175213, 61872328); The Key Project of Beijing (Z190004), National Key R&D Program of China (2020YFA0713703)
HU Wen-kai (1998-), PhD candidate. His main research interests cover CAD and IGA. E-mail：hwk2014@mail.ustc.edu.cn
LI Xin (1980-), professor, Ph.D. His main research interests cover CAD, IGA, etc. E-mail：lixustc@ustc.edu.cn
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