杨荣根
(金陵科技学院智能科学与控制工程学院,江苏 南京 211169)
干涉仪利用光的叠加性来获取波的相位信息，从而测量光学镜片表面的形状，通常用于干涉的单色光波长小于1 μm，因此干涉仪测量精度较高,光学镜片表面的一些微观疵病(如阴影、斑点、擦痕、破边等)都能通过干涉仪得到很好的检测。相移干涉[1](phase-shifting interferometry,PSI)是一种常见的干涉测量技术,经过四次移相之后产生四幅干涉图,这些干涉图能够恢复出被测表面高度差的相位图,是相移干涉的关键。
相移干涉测量技术所提取的相位值以反正切函数形式表示,受反正切函数值域的限制,其相位值被包裹在(-π,π)范围内,并且不是绝对相位,要想得到绝对相位,就必须对这些包裹相位进行解包。常用的二维相位解包算法包括路径跟踪算法[2]和路径无关算法[3-5],其中典型的路径跟踪算法主要包含分枝切割算法和质量优先路径算法,典型的路径无关算法主要包含分区算法、强度传递方程算法[6]和时域相位解包算法[7]。
路径跟踪算法对路径的选择具有高度依赖性,会导致相位解包求解的结果不一致。强度传递方程算法求解复杂,计算过程需要经过多次傅里叶变换和逆傅里叶变换,才能得到求解结果。针对以上问题，本文提出了基于离散泊松方程求解的相位解包算法,不需要对干涉图进行阈值掩模,利用二维离散余弦变换求解泊松方程得到绝对相位[8]。仿真实验和真实数据实验都表明：该方法能够克服路径相关方法的不一致性,抑制噪声误差,恢复真实相位。
1.1 算法模型
设φij为二维离散点(i,j)上的解包相位,φij为包裹相位,则有:
φij=φij+2πk(i,j)
(1)
其中,i和j分别对应包裹相位图行和列的索引,k(i,j)为整数值函数,-π≤φij≤π。
理论上,解包相位的差值应当和包裹相位的差值相等,因此,寻找已经解包的相邻像素点之间的解包相位差值，并与该相邻像素点之间的包裹相位差值相减，可得到最小二乘解。该最小二乘解就是最小二乘意义下的解包相位。
包裹相位沿x轴和y轴方向的梯度分别为:
(2)
(3)
其中,上标x和y分别指列像素相位差及行像素相位差。在M×N矩形图像上做最小二乘损失函数:
(4)
求解L最小二乘意义下的解φij,即可获得解包相位。
1.2 泊松方程
Hunt[9]的矩阵公式给出了上述最小二乘损失函数的方程,即：
(5)
该公式为包裹相位差与解包相位差的关系式,对其做简单的恒等变换,得到:
(φ(i+1)j-2φij+φ(i-1)j)+(φi(j+1)-2φij+φi(j-1))=ρij
(6)
M×N矩形网格上的离散泊松方程为:
Δφ(x,y)=ρ(x,y)
(7)
其中Δ为拉普拉斯算子。公式(7)对所有矩形网格点i=1,2,…,M和j=1,2,…,N都是有效的,被用于计算ρij的相位差,仅在网格区域内不为零,这个限制源自最小二乘公式,因此可直接得出离散泊松方程的诺埃曼(Neumann)边界条件:
(8)
1.3 离散余弦变换求解泊松方程
通过离散余弦变换来求解公式(7),二维离散余弦变换的一般式为:
(9)
二维离散余弦逆变换为:
(10)
其中:
(11)
其中,W1和W2是位于频谱边界上的系数。若xij为解包相位的像素点,则Xmn为像素点xij的二维离散余弦变换的谱值,同时也为离散余弦变换域的精确解。重写公式(10)为:
(12)
(13)
2.1 仿真实验验证
为了验证该方法的有效性和抗噪性能,实验设计了一个通过Peaks函数生成大小为512×512的矩阵绝对相位图像,如图1(a)所示。利用解包算法对相位图像进行解包,从而验证算法的有效性。在实际的干涉仪测量过程中会带入倾斜以及噪声,所以为了让相位更加接近真实测量值,在理想相位上添加倾斜因子和噪声项之后得到的相位图像如图1(b)所示,其中x轴和y轴方向的倾斜因子分别为0.02和0.01,噪声为高斯白噪声,噪声方差水平为0.2。
由图1可知,真实相位不受(-π,π)范围限制。将真实相位按照反正切函数的值域范围包裹图1(b),得到如图2(a)所示的包裹相位;利用基于离散泊松方程求解的相位解包算法来解包相位,得到如图2(b)所示的解包相位。
(a)包裹相位
通过比较不同倾斜因子和不同噪声方差水平对算法性能的影响来反映具体的误差情况,结果如表1所示。由表1可知:随着倾斜因子和噪声方差水平σ的增加,包裹相位和解包相位相邻像素的差值平方和(ω，u)都随之增大;而最小二乘损失值L和绝对误差Ea虽然会随着倾斜因子的增加而增大,但在同一倾斜因子条件下,不同噪声方差水平之间却保持相对稳定。这充分验证了基于离散泊松方程求解的相位解包算法能够很好地进行抗噪污染,说明该算法对噪声具有较好的鲁棒性,而且能克服路径跟踪相位解包算法对路径选择的依赖。此外,不同倾斜因子造成的差别可以在后续处理中通过曲面拟合得到倾斜系数来加以识别。
表1 不同倾斜因子和不同噪声方差水平对算法性能的影响
续表1
2.2 真实数据实验验证
实验利用自制的移相干涉仪(即菲佐干涉仪)来测定一个表面凸起的光学镜片形状,试图通过干涉图像能够恢复出与光学镜片表面形状一致的绝对相位图。干涉仪输出的4幅干涉图像如图3所示,根据相移干涉的原理计算出包裹相位,如图4所示。利用基于离散泊松方程求解的相位解包算法,计算出图4中相位沿坐标轴方向的二阶偏导,并求和;然后借助二维离散余弦变换在频率域中求得解包相位的精确解;最后通过离散余弦逆变换得到解包相位,如图5所示,其中图5(b)为解包相位的三维图,能够反映出光学镜片的表面轮廓,并且其纵坐标表明相位已经被延展到(-π,π)之外的区域。
注:由a图开始依次移相分别得到b、c、d图。
(a)包裹相位的平面图
(a)解包相位的平面图
为了验证基于离散泊松方程求解的相位解包算法在真实数据上的有效性,将干涉仪输出的4幅干涉图输入到ZYGO干涉仪中,得到的计算结果和本文的结果一致,进一步验证了本文算法的有效性。
有了被测件的解包相位之后,可根据相位与被测件表面高度之间的映射关系,将绝对相位值映射到被测件的表面高度,进而得到表面凹陷或者凸出的绝对高度,在此情况下被测件的表面质量就一目了然了。
干涉仪常常用来测量光学镜片表面的形貌,测量精度可以达到纳米级。但是干涉仪的研制在国内还比较少,在干涉仪配套的软件开发过程中,相位解包是一个比较困难的程序,虽然在原理上相位解包的方法比较多,如空间域解包和频率域解包等,但在实际的干涉仪测量过程中,由于各种污染、噪声等的干扰,测量结果并不能满足要求。针对此缺陷,本文提出了基于离散泊松方程求解的相位解包算法,并通过仿真实验证明了该算法对噪声不敏感,具有很强的抗噪声能力,能够克服路径跟踪方法对路径选择的依赖性,能够使解包相位每次所作的结果保持一致。此外,还通过真实数据实验证明了本文算法计算得到的绝对相位与ZYGO干涉仪计算得到的绝对相位相一致,这就进一步验证了本文算法的有效性。
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