冉银霞
(陇南师范高等专科学校 数信学院,甘肃 成县 742500)
设a,b,c为本原商高数，即满足a2+b2=c2,(a,b)=(b,c)=(c,a)=1,a,b,c>0.对于丢番图方程
(na)x+(nb)y=(nc)z(n为任意的正整数)，
(1)
(x,y,z)=(2,2,2)是勾股数组,显然满足方程(1).把(x,y,z)=(2,2,2)叫作方程(1)的平凡解.当n=1时,在[1]、[2]中,得到了当(a,b,c)=(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(9,40,41)或(11,60,61)时,方程(1)都仅有平凡解(x,y,z)=(2,2,2)的结论.
当n为任意正整数时,[3-16]中,得到了当(a,b,c)=(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(9,40,41),(11,60,61),(13,84,85),(15,112,113),(8,15,17),(12,35,37),(20,21,29),(28,45,53),(36,77,85),(65,72,97),(44,117,125),(24,143,145),(48,55,73),(60,91,109),(56,33,65),(80,39,89),(20,99,101)时,方程(1)都仅有平凡解(x,y,z)=(2,2,2)的结论.另外,胡邦群[17]对a-b=m(m≡7,3,5(mod 8)),n=b,m⫮n的情况,找到了某些使该猜想成立的正整数n;苟莎莎[18]对a-b=m(m≡7,3,5(mod 8)),n=b,(m,n)=1的情形,证明了若m≡3,5(mod 8),m含模8余3的因子,则当2n+m不含4k+1型素因子时,该猜想成立;杨海等[19]证明了方程(1)没有满足max{x,y}>min{x,y}>z及n>1的解,尤其a=P(P为奇素数),b=2时,方程(1)没有满足x>z>y及n>1的解;杨海等[20]证明了(a,b,c)=(2r+1+1,22r+1+2r+1,22r+1+2r+1+1),r∈N*时,除了平凡解(x,y,z)=(2,2,2),当n>1时,方程(1)的解都满足x>z>y.
本文讨论了 (a,b,c)=(1048575,2048,1048577) 的情况,得到了以下结论:
定理1对任意的正整数n,指数型不定方程
(1048575n)x+(2048n)y=(1048577n)z
(2)
仅有平凡解(x,y,z)=(2,2,2).
引理1[21]丢番图方程(u2-1)x+(2u)y=(u2+1)z仅有整数解(x,y,z)=(2,2,2).
引理2[22]设a,b,c是两两互素的正整数且满足a2+b2=c2.若丢番图方程ax+by=cz仅有整数解,则方程(1)没有满足z 引理3[23]设z≥4为整数,则有：(i) 不定方程P4+Q2=Rz没有满足gcd(P,Q)=1的非零整数解(P,Q,R);(ii) 不定方程P4+2Q2=Rz没有满足gcd(P,Q)=1且z≠5的非零整数解(P,Q,R).如果z=5,则该方程仅有整数解(P,Q,R)=(1,11,3). 根据引理1、2,只需研究(2)在n≥2且min{x,y} 情形1x>z>y.此时方程(2)可化为 2048y=nz-y(1048577z-1048575xnx-z). (3) 显然2048=211,所以n=2r(r≥1 ) ,因此一定有 2r(x-z)·3x·52x·11x·31x·41x=(10485772)z/2-1. (4) 而1048577+1=2·3·174763,故174763|(10485772)z/2-1,但174763⫮2r(x-z)·3x·52x·11x·31x·41x，所以式(4)不成立. 情形2y>z>x.此时方程(2)可化为 1048575x=nz-x(1048577z-2048yny-z). (5) 由于gcd(1048575,1048577)=1,所以gcd(nz-x,1048577z-2048yny-z)=1.由此可见 nz-x=a1x,1048577z-2048yny-z=a2x,a1a2=a,(a1,a2)=1. (6) 我们可以推出a2>1.事实上,如果a2=1,那么由 (6) 知,我们有 2048yny-z=1048577z-1. (7) 因为1048577≡1(mod 4),n为奇数,所以可以得到 11y=v2(1048577z-1)=20+v2(z). (8) 由于n≥2且n为奇数,所以n≥3.再由(6)的第一式知a1≥3为奇数. 接下来,我们说明x,z均为偶数.由于 1048577≡1(mod 220),2048y≡0(mod 220), (9) 下面寻找(9)左边的上界.设ε=±1,那么a2≡ε(mod 4). 如果ε=1 ,则 注意到a=a2a2=1048575,则有 因此v2(x)≥2,从而有4 |x. (10)
