徐兴海，刘宏亮，欧阳自根，肖其珍
(南华大学 数理学院,湖南 衡阳 421001)
在自然界中，大量的生物体在成群结队运动时往往会形成稳定且规律的运动状态，如成群结队南飞的雁群、结伴捕猎的狼群以及草原迁移的野牛。这些群体现象表现出来的自发、稳定、协助一致的特征引起了生物、数学、控制等方面学者的广泛关注。如1986年，C.W.Reynolds[1]给出集群的三个核心要点:体积排斥、速度对齐和聚集倾向。1995年，T.Vicsek[2]从统计学的角度建立了后被称为Vicsek来刻画粒子集群行为。2007年，F.Cucker与S.Smale利用通信函数描绘个体间的相互作用，建立Cucker-Samle[3](以下简称C-S)模型，从数学方面阐述集群问题，其模型如下：
(1)
其中xi∈Rd，vi∈Rd，(i=1，2，3，…，N)分别表示第i个智能体在t时刻的位置和速度，φ(r)=1/(1+r2)β为通信权函数，K1是耦合强度。此后，该模型引起了许多学者广泛的关注，如R.Mauro[4]考虑了智能体间信息交互的延时性，并得到系统能够形成集群的充分条件。Y.Z.Sun[5]等人考虑了随机噪声干扰的情况，得出当通信函数存在正下界且噪声在某个可控范围时，集群仍然会发生的结论。J.H.Shen[6]提出具有等级制度下的集群模型后，并证明了在连续的情况下只要β≤1/2，系统就会发生无条件渐进集群。后来C.H.Li[7]离散系统的角度，照样获取了同样的结论。H.L.Liu[8-10]探究了有限时间集群，通过引用符号函数破坏系统的Lipschitz连续性来保证系统的有限时间集群性。S.Y.Ha[11-12]引入粒子间排斥力，证明了当系统的初始值限定在一定范围内，系统中的粒子就不会发生碰撞。F.Cucker与J.G.Dong[13-15]等引入合力函数和利用能量函数方法证明了当β<1时，系统达到无条件且免碰撞的渐进集群。β>1时，系统的初始值要满足一定的条件时才能到达免碰撞集群。特别地，J.A.Carrillo[16-17]使用奇异的通信函数φ(r)=1/rα来避免碰撞，得到当α≤2时会形成无条件免碰撞集群。
本文受参考文献[8，16]的启发，建立以下模型：
(2)
其中
且初值记为
(xi(0)，vi(0))=(xi0，vi0)，
(3)
‖·‖是欧式范数，R是智能体控制预设距离，K1，K2是耦合强度皆为正常数。
为了叙述上的方便，首先给出必要的假设以及集群的定义。
(4)
则称系统(2)～系统(3)形成免碰撞的渐进集群。
为了说明系统(2)～系统(3)全局解的存在性，先给出位移差与速度的一致有界性引理。
和
证明：设能量函数
(5)
沿着系统(2)对E(x，v)求关于t的全导数得
〈vi(t)-vj(t)，(xi-xj)=
(6)
记
又因为E(x，v)在t∈[0，T)上非增非负，有E(x，v)≤E(0)。显然
证明：设T>0。需要证明系统(2)在[0，T]上存在唯一解。然而，由于在t=0时粒子有不同的位置，且权函数仅在r=0处奇异，因此局部唯一光滑解是存在的。那么就有两种可能性：在区间[0，T]粒子不发生碰撞，解可以延拓到[0，T]。或者存在t0∈(0，T]第一次发生碰撞，那么解唯一存在且光滑的区间为[0，t0)，假设这样的t0存在，然后根据它的定义，存在一个粒子S=1，2，3，…，N使得第S个粒子与其他一些粒子发生碰撞，用集合S表示这些碰撞粒子的集合，即有
其中，集合S中的元素个数|S|>1。同时设
2‖X(t)‖S‖V(t)‖S。
从而
(7)
另外
(8)
首先，对J1做估计。由于对称性，交换累加顺序易得
(9)
同理
(10)
根据式(9)和式(10)，计算得
(11)
此外，注意到对任意i，j∈S，有
‖xi(t)-xj(t)‖≤‖X(t)‖S，
且φ(·)非增，于是
(12)
紧接着对J2进行分析。由φ(·)满足假设和L(δ)是Lipschitz常数，有
vi(t))-φ(rkj)(vk(t)-vj(t))〉+
vj(t)，(φ(rki)-φ(rkj)(vk(t)-vj(t)))〉-
φ(rkj)(vk(t)-vj(t)))〉。
(13)
注意到在引理1中‖vk(t)-vj(t)‖≤2C，所以由Cachy-Schwarz不等式可得
4CJ2‖X(t)‖S‖V(t)‖S，
(14)
类似J1的方法，下面对J3进行估计
‖f(rki)(xk(t)-xi(t))‖≤
xi(t)‖m-R|×‖xk(t)-xi(t)‖m-1‖vk(t)-
vi(t)‖≤2CJ3‖V(t)‖S，
(15)
为了更好的对J4进行估计，先对f(rij(t))进行讨论，当i，j∈S，k∉S时，有‖xi(t)-xk(t)‖∈[δ，xc]，此时f(rij(t))是闭区间上的连续函数，那么一定存在常数C1，C2有
‖f(rki)-f(rkj)‖≤C1‖rki-rkj‖，
‖f(rij(t))‖≤C2。
于是可得
vj(t)，f(rkj)(xj(t)-xi(t))〉≤
‖(f(rki)-f(rkj))(xk(t)-xj(t))‖≤
‖xi(t)-xj(t)‖≤2CJ4‖X(t)‖S‖V(t)‖S，
(16)
联立式(12)～式(16)，则有
4CJ2‖X(t)‖S‖V(t)‖S+2CJ3‖V(t)‖S+
2CJ4‖X(t)‖S‖V(t)‖S。
(17)
因‖V(0)‖S≠0，故‖V(t)‖S≢0，将式(17)左右两边同时约去2‖V(t)‖S，可得
2CJ2‖X(t)‖S+CJ3+CJ4‖X(t)‖S。
(18)
根据式(7)，式(18)可化为
2CJ2‖X(t)‖S+CJ3+CJ4‖X(t)‖S。
(19)
将式(19)左右两边从0到t(t∈[0，t0))积分，
即
(20)
显然，式(20)的右边有界，而左边
这显然矛盾。因此解在[0，T]上存在且唯一。又由T是任意性，解最终可以延拓到无穷。也即t0→+∞，都有‖xi(t)-xj(t)‖≠0，i，j∈1，2，3，…，N，i≠j。证毕。
定理2 设定理2成立，那么系统(2)～系统(3)会形成免碰撞渐近集群。
(21)
注意到在假设中，φ非增非负。又由式(21)可推出
E(0)-E(t)≤E(0)
(22)
从而，进一步得到
对‖V(t)‖2求关于t的导数得到
vj(t))，f(rki)(xk(t)-xj(t)))〉‖≤
2Nφ(xc)‖V(t)‖2+
2C2N‖V(t)‖‖X(t)‖。
(23)
例1 设m=1.2，初始位移v0位于区间[-5，5]且不相同的随机数，初始速度v0位于区间[-5，5]的随机数。通过使用Python数值模拟，得到图1～图4。由图1，图2可得，粒子相对位移不变，粒子的速度趋于一致，即粒子形成了渐进集群。在图3，图4中可以看出粒子最大位移差一致有界，期间最小位移差恒大于0。那么无碰撞渐进集群是可达的，从而展现了第三节结果是合理的。
图1 粒子的位移Fig.1 Displacement of particles
图2 粒子的速度Fig.2 Speed of the particles
图3 粒子的最小位移差Fig.3 Minimum displacement difference of particles
例2 设m=1.8，初始位移v0位于区间[-5，5]且不相同的随机数，初始速度v0位于区间[-5，5]的随机数。如图5～图8所示，粒子经过一段时间后速度趋于一致，相对位移不变，粒子间最大位移差一致有界，全局过程中粒子间最小位移差恒大于0。那么无碰撞的渐进集群是可实现的。
图4 粒子的最大位移差Fig.4 Maximum displacement difference of particles
图5 粒子的位移Fig.5 Displacement of particles
图6 粒子的速度Fig.6 Speed of the particles
图7 粒子的最小位移差Fig.7 Minimum displacement difference of particles
图8 粒子的最大位移差Fig.8 Maximum displacement difference of particles
本文对多智能体系统免碰撞集群做出了研究，通过排斥力与奇异值函数结合的方法来避免智能体集群的碰撞，将可能发生的碰撞问题转化为微分方程解的存在性问题，利用能量函数证明位移差的一致有界性与速度的一致有界性，在初值不发生碰撞的情况下，多智能体系统会形成渐进免碰撞集群。解决了多智能体系统的防碰撞问题，在无人机飞行应用中有重要实际意义。
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