王 璇,郭真华,程变茹
(西北大学 数学学院，非线性研究中心, 陕西 西安 710127)
流体力学是研究流体运动规律及其应用的学科, 而渗透力学作为流体力学的一个重要分支, 主要研究流体在多孔介质中力学运动的物理规律, 它不仅在科技发展中具有重要的价值, 而且也是非线性偏微分方程的重要研究方向之一。多孔介质渗流问题的研究是一门既有较长历史又年轻活跃的学科, 尤其是其数学模型的研究对解决许多实际问题具有至关重要的价值[1-24]。
根据多孔介质中流体等温渗流运动的物理规律,建立一般形式的多孔介质单相流模型[1]：
(1)
其中:p和u分别表示压力和速度变量;D是介质的绝对渗透率张量;φ是介质孔隙度;ρ是流体密度;μ是流体粘度;g表示重力加速度;z是深度。
对于上述方程(1),当渗透率是定常函数时, 相关解的结果可参考文献[2];当渗透率是定常常数时, 已有许多学者得到解的相关结果。从文献[3]中可以看出，单相不可压流体的渗流问题可归结于模型Laplace方程。同理, 单相轻微可压流体的渗流模型可归结于抛物型方程。Vázquez[4]对多孔介质方程的解进行了详细的总结。近期,Kim等[5]利用加权空间的定义及其线性化方程的Schauder估计和退化性, 研究了多孔介质方程在光滑区域上具有零边界条件的短时间光滑解的存在性。随后,文献[6]通过短时间光滑解的存在性和散度型退化方程的Hölder估计等研究了多孔介质方程在具有零边值条件的有界区域上长时间光滑解的存在性。对于多孔介质方程解的正则性的结果,Dahlberg等[7]证明了在有界区域中,若弱解是非负且具有局部Lm条件,那么该弱解在有界区域上是局部Hölder连续。接着,Dahlberg等[8]研究了多孔介质方程在有界区域上弱解的存在性。文献[9]对多孔介质方程Dirichlet问题在有界区域上的长时间行为进行了研究, 同时Ander等[10]利用上抛物函数和下抛物函数的一种比较原理给出了多孔介质方程边界的研究,得到了Dirichlet问题边界的正则性。接着Zhan等[11]研究了具有对流项多孔介质方程解的稳定性。事实上，包括多孔介质方程演变来的抛物方程也有许多的结果[2,12-18],此处不再赘述。。虽然单相流的理论研究已经相当成熟, 但是在实际渗流过程中, 多孔介质模型的重要参数孔隙度和渗透率都是随时间的变化而变化的, 所以上述模型中的静态参数都难以模拟实际的渗流过程。
为了实现渗透参数孔隙度和渗透率的动态预测, 我们利用一种在应用中被广泛接受的Kozeny-Carman非线性模型[19]来刻画渗透率和孔隙度之间的关系。若忽略重力影响,那么可得到以下各向同性多孔介质变系数单相流模型：
(2)
单相流多孔介质模型可以将质量守恒方程作为基础方程,变形得到与其等价的描述渗流过程的微分方程。将连续性方程(2)作为基础方程,可得以下与模型(2)等价的描述渗透过程物理现象的拟抛物型偏微分方程组：
(3)
1.1 粘性解的定义
首先介绍粘性解的具体定义。
定义1考虑如下初边值问题：
1)对于任意(t0,x0)∈ΩT,不等式
p(t,x)≥p(t0,x0)+m(t-t0)+p(x-x0)+
o(t0-t+|x-x0|2)。
这里,Nr(t0,x0)={(t,x):0≤|t0-t| 本节主要证明方程组(3)粘性解的存在性, 首先给出如下光滑性假设： 1)φ(0)=0; 可知方程在φ(0)=0处是退化的，因此可以构造如下逼近问题： (4) 其中:ε>0是常数;φε是光滑函数且满足 (5) 对于上述逼近问题, 可得以下引理。 In this section,the CRLB for the 2-D central DOAs estimation of ID sources can be derived to measure the quality of the proposed estimator.We can rewrite the array steering vector of the whole array as follows: 引理1在上述假设下,存在Tε>0使得逼近方程组(4)在ΩTε上具有唯一的经典解pε,这里ΩTε=(0,Tε)×Ω。 pt-Lp=0, 这里 接下来,给出pε的一些相关性质, 这些性质在证明方程组粘性解存在性的过程中起着重要的作用。 引理2∀ε>0,解pε具有下列性质: 1)在ΩTε中,pε≥ε; 2)解pε关于ε单调递增，即当0<δ<ε时，在ΩT′中pδ F(t,x,u)=0。 2)为了证明pε的单调性,只需比较当δ<ε时，pδ≤pε即可。设pε和pδ是方程组(4)的任意两个解,且令ε>δ,z(t,x)=pε(t,x)-pδ(t,x)。由性质1)可知，在ΩTε上，pε≥ε,pδ≥δ，那么φε(pε)=φ(pε),φδ(pδ)=φ(pδ)。因此，在ΩT′上有 (c1(φm-1(θ))′△pδ+ 这里T′=min{Tε,Tδ},θ处于pε和pδ之间。同时由于在ST′上有z(t,x)=ε-δ>0，且在Ω上有z(0,x)=ε-δ>0，进而根据线性抛物方程初边值问题的比较原理有z≥0,从而证明pε≥pδ。 注2∀ε>0,利用引理2中的性质1)，φε(pε)=φ(pε),因此(4)式中的φε可以换成φ。 接下来,若令ε0>0固定，通过引理2，∀ε<ε0，在ΩT0上，有ε≤pε≤pε0,这里T0=Tε0。同时由于p0是有界的，那么利用线性抛物方程的最大值原理可得pε在ΩT0上有界，ε≤pε≤M，且{pε}是一致有界的，其中{pε}表示{pε∶ε≤ε0}。根据pε的性质2)，那么 (6) 在ΩT0上逐点存在。 (7) 这里β(v)=Φ-1(v)。易验证p是(4)式的解当且仅当v=Φ(p)是(7)式的解。 引理3在假设条件下,序列{vε}在ΩT0上有界并等度连续,且在[0,T0]×Ω′上，{vε}是等度连续的,其中Ω′⊆Ω。 最后,根据已知条件,存在δ0>0,∀0 这就验证了关于β的所有条件。 文献[23]中其余的假设条件[A2]～[A3]通过方程(7)直接得到。因此，{vε}在QT0上等度连续。同时,根据文献[23]的定理6.1,可得{vε}在Ω′×[0,T0]上等度连续。由此，完成引理的证明。 其中Φ′(p)=φm-1(p),且Φ(0)=0。 将方程(4)改写成其等价形式： (β(v))t-(c1v)+[c1(m-1)CR-c2]· (8) 这里β(v)=Φ-1(v)。 引理4在假设条件下,p在边界ST0上连续且p(t,x)=0。 Nγ,δ=(t0-γ′,t0+γ″)×(BR+δ(y0)∩Ω), 其中:γ>0;这里γ′=min{t0,γ};γ″=min{γ,T0-t0},那么wε满足以下方程: (9) 下面需要在区域Nγ,δ上构造上述方程组(9)的一个上解Wε。结合文献[24],给定Wε的一种可能形式 (10) 这里的k和Ai,i=1,2,是确定的常数, 使其满足以下要求。 a)内部条件: b)初值条件： x∈BR+δ(y0)∩Ω。 c)原始边界的要求： d)新边界的要求： t∈(t0-γ′,t0+γ″)。 |p0(x)-p0(x0)|≤K|x-x0|α。 (11) ∀x∈Ω,选择Ai(i=1,2)充分大,使得 (12) 同时必要时增加A1和A2,可以假设 t0>0。 (13) 利用Ai的选择,首先证明函数Wε满足初边值条件b)～d)。 为了验证b),当t0>0,γ′>0，因此通过(10)式和(13)式的第二个不等式可得 若t0=0，根据p0(x0)=0，利用(10)式并结合文献[24]的引理3.3，可得 同时利用不等式(12)， (14) 验证边界条件c),根据(10)式和Φ的单调性 验证d)时,由于0 x∈∂BR+δ∩Ω。 下面需选择适当的k使得Wε满足a),由于φ(0)≥0,若k是正整数,则Wε是可微的,首先关于t求导： 因此，存在一个常数K0>0，使得 同样，对Wε关于x微分 |x-y0|-2k-2(x-y0), |x-y0|-2k-2(3-2k-2)。 为了证明不等式a),选择适当的k,使得2k-1≥0,同时有2c1CR(m-1)-c2α>0,适当增加A1,使其满足 对于上述k和A1的选择，当(t,x)∈Nγ,δ,则有 由此,完成了该引理的证明。 (s,y)∈Nr(t,x))}, (s,y)∈Nr(t,x))}, (s,z,p(s,z),m,p,X)。 根据粘性解的定义1有 由于φ是连续函数,给以上等式取极限可得 m-c1φm-1(p(s,z))Tr(X)- c2φm-1(p(s,z))|p|2=0。 由此证明了p是粘性下解,进而完成了定理的证明。 前文证明了pε的极限p是方程组(3)的粘性解, 验证了粘性解的存在性。本节将在上述粘性解存在性的基础上, 验证该粘性解p是方程组(3)的弱解, 进而给出方程弱解的存在性证明。首先给出弱解的具体定义。 (c2-c1(m-1)CR)∬ΩTφm-1(p)· (15) 引理5若pε是方程组(4)的经典解,∀ε>0,当m>2+δ时, ∬ΩT|φm-1(pε)|2dxdt≤C 证明由于0<φ(ε)≤φ(pε),那么先对方程组(4)的第一个方程两边同时乘以φm-1(pε),可得 (φm-1(pε))t=c1φm-1(pε)△φm-1(pε)+ 令v=φm-1(pε),则上述等式变为 (16) 对(16)式在ΩT上积分可得 ∬ΩTvtdxdt=c1∬ΩT(vv)+ 即 由于m>2+δ，且pε(t,x)≤M,则v(t,x)≤M′，因此 ∬ΩT|v|2dxdt≤C, 即 ∬ΩT|φm-1(pε)|2dxdt≤C, 其中C与ε无关。 证明方便起见,记pε为p。对(4)式第一个方程两边同时关于t求导,那么 ptt=c1φm-1(p)△pt+c1(m-1)· CRφm-1(p)ptΔp+2c2φm-1(p)ppt+ c2(m-1)CRφm-1(p)pt|p|2。 (17) vt=c1φm-1(p)△v+2c2φm-1(p)p·v+ (m-1)CRv2,(t,x)∈(τ,T-τ)×Ω。 令 L(v)=vt-c1φm-1(p)△v-2c2φm-1(p)p· 在∂Ω上，有v=0，而在t=τ时，存在足够大的Mε>0，∀M≥Mε，有v≥-M。因此,用抛物方程的比较原理,∀M≥Mε,在(τ,T-τ)×Ω上，有v≥vM(t)，这里的vM(t)是以下方程的解: 上述方程的解为 引理7在引理5的假设下,令pε是方程组(4)的经典解,那么pεt在L2(ΩT)中一致有界。 给方程组(4)第一个方程两边同时乘以ψ(t,x),并在ΩT上积分可得 令 则 φm-1(p)pt|p|2dxdt- I1+I2+I3。 为处理I2项, 所以 2∬ΩTφm(p)φ2φ2t|p|2dxdt, 因此 对于I3项， 从而 由于2c2-c1CR(m-1)>0，利用引理6，则 利用引理5和引理2的1),有 ce(2m-2)CR(ε-p0)∬ΩT|pε|2dxdt≤ ∬ΩTφ2m-2(pε)|pε|2dxdt≤C, 则 ∬ΩT|pε|2dxdt≤C。 又由于0<φ(pε)≤M,m-1>0，结合上式得到不等式右边是有界的,所以I是有界的, 那么有 从而pεt在L2(ΩT)是一致有界的。 引理8在引理5的假设下,若pε是方程组(4)的经典解,在L2(ΩT)中，当ε→0时，有 证明由于pε是方程组(4)的经典解,令ψ=φm-1(pε)-φm-1(p)-εm-1。当ε→0时，由于pε→p,那么由初等函数的收敛性,则φm-1(pε)→φm-1(p),那么ψ→0。然后给方程组(4)的第一个方程两边同时乘以ψ,再在ΩT上积分,有 ∬ΩTpεtψdxdt=c1∬ΩTφm-1(pε)△pεψdxdt+ c2∬ΩTφm-1(pε)|pε|2ψdxdt, 应用散度定理, ∬ΩTpεtψdxdt=c1∬ΩT(φm-1(pε)ψpε)dxdt- c1∬ΩTφm-1(pε)ψpεdxdt-c1(m-1)· CR∬ΩTφm-1(pε)ψ|pε|2dxdt+ c2∬ΩTφm-1(pε)|pε|2ψdxdt。 由引理7有pεt在L2(ΩT)中一致有界，又当ε→0时，ψ→0，那么上式两边同时令ε→0可得 [c2-c1CR(m-1)]∬ΩTφm-1(pε)|pε|2ψdxdt- c1∬ΩTφm-1(pε)ψpεdxdt→0。 同时根据引理5有,当ε→0, ∬ΩTφm-1(pε)|pε|2ψdxdt→0, 从而 c1∬ΩTφm-1(pε)ψpεdxdt→0。 (18) 然后将ψ=φm-1(pε)-φm-1(p)-εm-1代入(18)式, c1∬ΩTφm-1(pε)(φm-1(pε)- φm-1(p))pεdxdt→0, 那么 ∬ΩT|φm-1(pε)-φm-1(p)|2dxdt+ ∬ΩT(φm-1(pε)-φm-1(p))· 根据引理5, ∬ΩT|φm-1(pε)|2dxdt≤C, 根据弱收敛, 则 ∬ΩTφm-1(p)(φm-1(pε)-φm-1(p))dxdt→0。 综上, ∬ΩT|φm-1(pε)-φm-1(p)|2dxdt→0， 从而在L2(ΩT)中有φm-1(pε)→φm-1(p)。 引理9在引理5的假设下,设pε是方程组(4)的经典解,在L1(ΩT)中，当ε→0时，有 φm-1(pε)|pε|2→φm-1(p)|p|2。 对于I1， φm-1(p)|p|2χδdxdt， 同样根据引理5和引理2的1),则 同理， ∬ΩTφm-1(p)|p|2χδdxdt≤Cδm-1, 接下来，利用等式 和 (a+b)p≤22ap+2pbp(a,b>0,p≥1)， 推导可得 ∬ΩT|φm-1(pε)-φm-1(p)|2dxdt+ 从而,当ε→0时，I3→0。 综上,当ε→0,δ→0时,有 ∬ΩT|φm-1(pε)|pε|2- φm-1(p)|p|2dxdt→0。 证明要证明p是方程组(3)的弱解, 即需证明p满足弱解的定义,由于pε是方程组(4)的经典解, 那么 (c2-c1(m-1)CR)∬ΩTφm-1(pε)· 本文主要证明变系数多孔介质单相流方程弱解的存在性。由于变系数的非线性性, 我们首先构造了与原方程等价的拟抛物方程,然后利用粘性法及上下解方法得到方程粘性解的存在性, 最终通过先验估计证明了方程的粘性解就是其弱解, 进而得到了原方程弱解的存在性。1.2 粘性解的存在性
